к. ф.-м. н. Андрушкевич І.Є., Жізневський В.А.
Вітебський державний університет ім. П. М. Машерова.
Рішення прикладних задач поширення електромагнітних хвиль часто пов'язане з проблемою пошуку аналітичних рішень крайових задач математичної фізики. З цієї точки зору, застосування методу розділення змінних один з можливих шляхів цього пошуку. Добре вивчений класичний метод Фур'є дозволяє розділити змінні в диференціальних рівняннях в приватних похідних стосовно до граничних умов найпростішого виду. Трикутна кордон направляючої структури, розглянутої в статті, не відповідає можливостям розділення змінних у класичному уявленні. У статті розглянуто застосування узагальненого методу Фур'є розділення змінних, як одного із способів розширення кола аналітично вирішуваних завдань прикладної електродинаміки. На прикладі визначення сімейства Е-хвиль хвилеводу трикутного перерізу показано перевагу перед класичним методом поділу змінних при вирішенні крайової задачі для двовимірного рівняння Гельмгольца.
Наочним прикладом реалізації переваг узагальненого методу Фур'є (ОМФ) [1] перед класичним при вирішенні прикладних задач електродинаміки є задача порожнистого хвилеводу трикутного перерізу (рис.1), оболонка якого приймається за ідеально провідну, а внутрішнє середовище є однорідною. Така модель в більшості випадків виявляється задовільною для практичних розрахунків. При необхідності вона уточнюється шляхом обліку втрат в металі.
рис.1
Пошук векторів електромагнітного поля зазвичай замикається на розгляд рівняння Гельмгольца, якій повинні задовольняти компоненти цих векторів:
(1)
Просторова задача про поширення хвиль в подібній поздовжньо-однорідній структурі зводиться до вирішення двовимірного рівняння Гельмгольца шляхом класичного відділення змінної z, тобто подання шуканої функції у вигляді:
(2)
Рівняння для при цьому приймає вигляд:
(3)
Тут невідома не тільки функція, але і параметр l, що має сенс поперечного хвильового числа. Саме по собі рівняння (3) не має певних рішень з фізичної точки зору. Необхідно поставити крайову (граничну) завдання. Відомо, наприклад з [2], що для визначення сімейства Е-хвиль тієї чи іншої направляючої структури з однорідною середовищем і при ідеалізації проводять кордонів треба знайти рішення крайової задачі, що містить, крім рівняння (3), умову:
на L, (4)
де під L розуміється ідеально проводить контур поперечного перерізу полого хвилеводу або сукупність контурів у більш складних випадках. У нашому прикладі, як видно з малюнка, в якості L виступає прямокутний рівнобедрений трикутник. Застосовуючи для вирішення цієї крайової задачі класичний метод Фур'є, тобто представляючи шукану функцію у вигляді:
(5)
можемо отримати наступне спільне рішення для розглянутого рівняння:
(6)
Невизначені константи, що містяться в даному рішенні, повинні бути визначені з граничних умов, але отримується при цьому система рівнянь не має нетривіальних рішень. Отже, рішення (6) не задовольняє поставленої крайової задачі. Можна піти по шляху розчленування замкнутого контуру на відрізки, що безумовно викличе збільшення кількості крайових задач, що потребують вирішення. Цього можна уникнути, використовуючи ОМФ.
Представляючи шукану функцію у вигляді:
(7)
рівняння (3) наводиться білінійної увазі:
(8)
На наступному етапі застосування ОМФ необхідно побудувати матрицю функцій білінійної рівняння, яка в нашому випадку виглядає наступним чином:
(9)
Дотримуючись теорії реалізації ОМФ [1], використовуючи цю матрицю, можна побудувати наступні системи розділених рівнянь:
(10)
(11)
(12)
Наведені системи відрізняються функціями, що входять в їх базис, і їх кількістю. Аналіз цих систем вказує, що тільки система (11) може мати рішення, що задовольняють вимогу лінійної незалежності шуканих функцій з кожної змінної. Рішення системи (11) за умови має наступний вигляд:
(13)
Це рішення містить вісім невизначених коефіцієнтів і постійні розділення, які повинні бути визначені з граничних умов.
Умова по осі х, що має вигляд f (x, 0) = 0, призводить до рівняння:
(14),
з якого випливає:
Умова по осі y, що має вигляд f (0, y) = 0, призводить до рівняння:
(15),
з якого вважаємо:
Умова по гіпотенузі розглянутого трикутника, що має вигляд f (y-а, y) = 0, призводить до рівняння:
яке може бути перетворено до вигляду:
(16)
Вирішуючи дане тригонометрическое рівняння можна звернути його в тотожність при наступних обмеженнях на невизначені постійні:
(17),
де k, n, mv цілі ненульові числа.
За цих обмеженнях шукана функція приймає наступний вигляд:
(18),
де С v невизначена амплітудна константа, що з'явилася внаслідок наступних позначень:
Повертаючись до спочатку поставленої задачі про визначення сімейства Е-хвиль розглянутої направляючої структури, відповідно до [2], в якості f (x, y) виступають власні функції, що мають зміст поздовжньої компоненти напруженості електричного поля для хвилі, яка визначається вибором чисел m і n. Цим власним функціям відповідають власні значення з виразу (17). Повне електромагнітне поле для цього хвилеводу може бути визначена з залежностей поперечних компонент від і, що випливають з рівнянь Максвелла:
,
де - поздовжнє хвильове число, а - кругова частота хвильового процесу.
Список літератури
1. І.Є. Андрушкевич. Про один узагальненні методу Фур'є розділення змінних. ЕВ & ЕС .1998. | 2
2 В.В. Нікольський, Микільська Т.І. Електродинаміка та поширення радіохвиль. М.: Наука.1989